О разрешимости начально-краевой задачи сложного теплообмена с краевыми условиями диффузного отражения и преломления для излучения

Рассматривается начально-краевая задача
\begin{gather} c_p\dfrac{\partial u}{\partial t}- \operatorname{div} (\lambda(x,u)\nabla u)+ 4\pi\int_0^\infty\varkappa_\nu k_\nu^2h_\nu(u)\,d\nu \nonumber \\ = \int\limits_0^\infty\varkappa_\nu\int\limits_\Omega I_\nu\,d\omega\,d\nu +f,\qquad (x,t)\in G\times (0,T), \\ \omega\cdot\nabla I+(\varkappa_\nu+s_\nu)I_\nu= s_\nu {\cal S}_\nu(I_\nu) +\varkappa_\nu k_\nu^2 h_\nu(u),\qquad (\omega,x,t)\in\Omega\times G\times (0,T), \\ \lambda(x,u)\nabla u\cdot n=0,\qquad (x,t)\in\partial G\times (0,T), \\ I_\nu|_{\Gamma^-}={\frak B}_{d,\nu}(I_\nu|_{\Gamma^+}),\qquad (\omega,x,t)\in \Gamma^-\times (0,T),\quad 0<\nu<\infty, \\ u|_{t=0}=u^0,\qquad x\in G, \end{gather}
описывающая радиационно – кондуктивный теплообмен в системе $G=\underset{j=1}{\overset{m}\cup}G_j$, состоящей из полупрозрачных тел $G_j\subset{\mathbb R}^3$, разделенных вакуумом. Искомые функции $u(x,t)$, $I_\nu(\omega,x,t)$ имеют физический смысл абсолютной температуры и интенсивности излучения на частоте $\nu$, распространяющегося в направлении $\omega\in\Omega=\{\omega\in{\mathbb R}^3\mid |\omega|=1\}$.
Здесь $0<c_p$, $0<\lambda(x,u)$, $0\le\varkappa_\nu$, $0\le s_\nu$ и $1<k_\nu$ – коэффициенты теплоемкости, теплопроводности, поглощения, рассеяния и показатель преломления. Функция $h_\nu(u)$ отвечает спектральному распределению Планка: $h_\nu(u)=\dfrac{2\nu^2}{c_0^2}\dfrac{\hbar\nu} {\exp\left(\hbar\nu/(ku)\right)-1}$ при $u>0$. В уравнении переноса излучения (2) ${\cal S}_\nu$ – оператор рассеяния:
$$ {\mathcal S}_\nu(\varphi)(\omega,x)=\int_\Omega \theta_{j,\nu}(\omega'\cdot\omega)\varphi(\omega',x)\,d\omega',\quad (\omega,x)\in \Omega\times G_j,\quad 1\le j\le m. $$

Краевое условие (4) описывает диффузное отражение и диффузное преломление излучения на границах тел. В нем $\Gamma^-=\{(\omega,x)\in\Omega\times\partial G\mid \omega\cdot n(x)<0\}$, $\Gamma^+=\{(\omega,x)\in\Omega\times\partial G\mid \omega\cdot n(x)>0\}$. Подробное описание условия (4) и доказательство однозначной разрешимости задачи (2), (4) даны в [1], [2].
В данной работе доказаны существование и единственность обобщенного решения задачи (1)–(5). Установлена теорема сравнения. Приведены достаточные условия регулярности обобщенного решения.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 13-01-00201) и в рамках государственного задания Минобрнауки РФ (проект N 1553).