Связность строгих солнц в конечномерных банаховых пространствах

Для подмножества $M\ne \varnothing $ линейного нормированного или несимметрично нормированного пространства $X$ точка $x\in X\setminus M$ называется точкой солнечности, если
$$ y\in P_M\bigl((1-\lambda)y+\lambda x\bigr)\qquad \text{для всех} \quad \lambda\ge 0, $$
где $P_Mx$ – множество ближайших точек из $M$ для $x$. Геометрически это условие означает, что из точки $y$ исходит “солнечный” луч, проходящий через $x$, для каждой точки которого $y$ является ближайшей из $M$. Точка $x\in X\setminus M$ называется точкой строгой солнечности, если $P_Mx\ne\varnothing$ и условие $y\in P_M\bigl((1-\lambda)y+\lambda x\bigr)$ при всех $ \lambda\ge 0$ выполнено для любой точки $y\in P_Mx$. Замкнутое непустое множество $M\subset X$ называется солнцем (соответственно, строгим солнцем), если каждая точка $x\in X\setminus M$ является точкой солнечности (соответственно, строгой солнечности) для $M$. Понятие солнца было введено Н. В. Ефимовым и С. Б. Стечкиным в 1958 г. при изучении изучении чебышëвских множеств.
Следуя Л. П. Власову, если $\textrm{Q}$ обозначает некоторое свойство (например, “связность”), мы будем говорить, что множество $M$ обладает свойством
$B$-Q, если $M\cap B(x,r)$ обладает свойством Q при всех $x\in X$, $r>0$;
$\mathring B$-Q, если $M\cap \mathring B(x,r)$ обладает свойством Q при всех $x\in X$, $r>0$;
здесь $B(x,r)$ и $ \mathring B(x,r)$ – замкнутый и открытый шар с центром $x$ и радиусом $r$.
В. А. Кощеев показал, что в конечномерном линейном нормированном пространстве всякое солнце связно. А. Л. Браун установил, что солнце в конечномерном линейном нормированном пространстве линейно связно и локально линейно связно. Кощеев также установил, что в линейном нормированном пространстве компактное солнце связно, а строгое солнце не имеет собственных связных компонент, являющихся множествами существования. Он также построил пример несвязного солнца (в конкретном бесконечномерном пространстве). Также отметим, что ограниченно компактное строгое солнце в нормированном пространстве $B$-связно ($B$-линейно связно, если пространство банахово), а в пространстве Ефимова–Стечкина всякое строгое солнце $\mathring B$-связно.
Изучая солнца в конечномерных пространствах Х. Беренс и Л. Хетцельт охарактеризовали солнца в пространствах $\ell^\infty(n)$ и показали, используя эту характеризацию, что солнца в $\ell^\infty(n)$\enskip $B$-клеточноподобны (являются $B$-$R_\delta$-множествами по Ароншайну). А. Л. Браун установил связность по Менгеру солнц в так называемых (BM)-пространствах конечной размерности – полиэдральные (BM)-пространства суть в точности $\oplus_\infty$-прямые суммы 1- или 2-мерных пространств. Используя этот результат, автор установил, что в конечномерных (BM)-пространствах любое солнце $B$-стягиваемо и на него для любого $\varepsilon > 0$ существует непрерывная аддитивная (мультипликативная) $\varepsilon$-выборка (непрерывная выборка из почти наилучшего $\varepsilon$-приближения). Отметим, что непрерывной выборки из метрической проекции (т.е. $0$-выборки) на строгое солнце может не существовать даже в трехмерном случае.
Theorem. Пусть $X$ – линейное нормированное или несимметрично нормированное пространство размерности $2$ или $3$ и пусть $M\subset X$ – строгое солнце. Тогда $M$\enskip $B$-стягиваемо и на него для любого $\varepsilon > 0$ существует непрерывная аддитивная (мультипликативная) $\varepsilon$-выборка.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 13-01-00022).