О некоторых диофантовых спектрах

Пусть $\alpha$ есть иррациональное число и
$$ \psi_\alpha(t)=\min_{\mathbb{Z}_+\ni q\le t}\|q\alpha\| $$
есть функция его меры иррациональности. Мы обсудим старые и новые результаты, касающиеся спектра Лагранжа
$$ \mathbb{L}=\Bigl\{\lambda\in\mathbb{R}:\exists\,\alpha\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\ \liminf_{t\to\infty}t\psi_\alpha(t)=\lambda\Bigr\}, $$
спектра Дирихле
$$ \mathbb{D}=\Bigl\{d\in\mathbb{R}:\exists\,\alpha\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\ \limsup_{t\to\infty}t\psi_\alpha(t)=d\Bigr\}, $$
а также спектра
$$ \mathbb{M}=\Bigl\{m\in\mathbb{R}:\exists\,\alpha\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\ \limsup_{t\to\infty}t\mu_\alpha(t)=m\Bigr\}, $$
связанного с функцией $\mu_\alpha(t)$, возникающей при анализе диагональной дроби Минковского.