Точные оценки количества целочисленных многочленов с заданными дискриминантами (по совместной работе с Н. Будариной и Ф. Гётце)

Для многочлена произвольной степени $P(x)=a_{n}x^{n}+ \ldots + a_{1}x + a_{0}$ высоты $H=H(P)=\max_{0\le j \le n}|a_{j}|$ c корнями $\alpha_1,...,\alpha_n$ дискриминант $D(P)$ определяется так:
$$ D\,=\,D(P)\,=\,a_{n}^{2n-2}\prod_{1\le i<j\le n}(\alpha_{i}-\alpha_{j})^{2}. $$
Существует и другая форма записи $D$ в виде определителя порядка $2n-1$. Для натурального $Q>1$ и $v\in \mathbb{R}, 0\le v \le n-1$ определим класс многочленов
$$ \mathcal{P}_{n}(Q,v)\,=\,\left\{P\in\mathbb{Z}[x]\,:\,\deg{P}\,=\,n, \; H(P)\le Q, \; 0<|D|<Q^{2n-2-2v}\right\}. $$
Оценки количества многочленов $\#\mathcal{P}_{n}(Q,v)$ важны во многих задачах диофантовых приближений (см. [1],[2]).
В докладе будут приведены известные и недавно полученные оценки сверху и снизу для $\#\mathcal{P}_{n}(Q,v)$, основанные на метрической теории диофантовых приближений зависимых величин.
[1] В.И. Берник, Метрическая теорема о совместном приближении нуля значениями целочисленных многочленов. Изв. АН СССР. Сер. матем., 44:1 (1980), 24–45.
[2] V.V. Beresnevich, Rational points near manifolds and metric Diophantine approximation. Ann. Math., 175:1 (2012), 187–235.