О поведении величины $P(x)$ на коротких интервалах

Пусть $P(x)$ - остаточный член в задаче о числе целых точек в круге. В докладе будет представлен ряд известных и новых результатов о связи оценок величин $\bigl|P(x\pm\sigma)-P(x)\bigr|$ и $\int_{x-\sigma}^{x+\sigma}|P(u)|^{p}\,du$ ($1\ll \sigma \ll x^{1-\varepsilon}$, $p>1$) с поточечными оценками вида $|P(x)|=O\bigl(x^{1-\delta}\bigr)$.