Разработан метод Фурье применительно к численному интегрированию стохастических дифференциальных уравнений (СДУ) Ито$,$ СДУ скачкообразно-диффузионного типа$,$ а также к численному интегрированию некоммутативных полулинейных СДУ с частными производными и нелинейным мультипликативным пространственно-временным шумовым возмущением (в рамках полугруппового подхода или подхода$,$ основанного на так называемом мягком решении)$.$ А именно$,$ применены обобщенные кратные ряды Фурье (сходящиеся в смысле нормы в гильбертовом пространстве $L_2([t,\hspace{0.2mm} T]^k),$ $k\in \mathbb {N}$) по произвольным полным ортонормированным системам функций в пространстве $L_2([t,\hspace{0.2mm} T]^k),$ $k\in \mathbb {N}$ к разложению и сильной (среднеквадратической$,$ в среднем степени $p$ $(p>0),$ а также с вероятностью $1$) аппроксимации повторных стохастических интегралов Ито вида \begin{equation} \label{1} \int\limits_t^T\psi_k(t_k)\ \ldots \int\limits_t^{t_{2}} \psi_1(t_1) d{\bf W}_{t_1}^{(i_1)}~ \ldots~ d{\bf W}_{t_k}^{(i_k)}, \end{equation} где $k\in \mathbb {N},\ $ $\psi_{1}(\tau),\ldots,\psi_k(\tau)\in L_2[t, T],$ ${\bf W}_{\tau}\in \mathbb{R^m}$ $-$ стандартный винеровский процесс c независимыми компонентами $\ {\bf W}_{\tau}^{(i)}$ $(i=1,\ldots,m),\ $ ${\bf W}_{\tau}^{(0)}:=\tau,\ $ $i_1,\ldots,i_k$ $=$ $0,\ 1,\ldots,m.$

Установлена взаимосвязь указанного разложения с кратными стохастическими интегралами Винера относительно компонент многомерного винеровского процесса и многочленами Эрмита от векторного случайного аргумента. Вычислена точно среднеквадратическая погрешность аппроксимации повторных стохастических интегралов Ито вида $(1)$ произвольной кратности $k,\ $ $k\in\mathbb{N}$ для всех возможных сочетаний индексов $i_1,\ldots, i_k \in\{1,\ldots, m\}$ в рамках данного подхода.

Сформулирована и доказана теорема о сходимости с вероятностью $1$ разложений повторных стохастических интегралов вида $(1)$ произвольной кратности $k\in\mathbb{N}$ для случая $\psi_{1}(\tau),\ldots,\psi_k(\tau)\in C^1[t,T],$ а также кратных рядов Фурье-Лежандра и кратных тригонометрических рядов Фурье, сходящихся в смысле нормы в пространстве $L_2([t,\hspace{0.2mm} T]^k),$ $k\in \mathbb {N}.$ Найдена скорость сходимости в этой теореме.

Произведено обобщение указанного метода Фурье для полных ортонормированных с весом $\ r(t_1) \ldots r(t_k)$ систем функций в пространстве $L_2([t,\hspace{0.2mm} T]^k),$ $k\in \mathbb {N},$ а также для некоторых других типов повторных стохастических интегралов (повторных стохастических интегралов по мартингальным пуассоновским мерам и повторных стохастических интегралов по мартингалам)$.$

Отмеченные выше результаты адаптированы при специальном условии на следовые ряды для повторных стохастических интегралов Стратоновича вида \begin{equation} \label{2} \int\limits_t^T\psi_k(t_k)\ \ldots \int\limits_t^{t_{2}} \psi_1(t_1)\hspace{0.3mm} \circ d{\bf W}_{t_1}^{(i_1)}\ \ldots\hspace{0.5mm} \circ d{\bf W}_{t_k}^{(i_k)}, \end{equation} где $k\in \mathbb {N},\ $ $\psi_{1}(\tau),\ldots,\psi_k(\tau)\in L_2[t,T],$ ${\bf W}_{\tau}\in \mathbb{R^m}$ $-$ стандартный винеровский процесс c независимыми компонентами $\ {\bf W}_{\tau}^{(i)}$ $(i=1,\ldots,m),\ $ ${\bf W}_{\tau}^{(0)}:=\tau,\ $ $i_1,\ldots,i_k$ $=$ $0,\ 1,\ldots,m.$ Указанное выше условие на следовые ряды было снято в следующих трех случаях.

$1.$ Случай кратных рядов Фурье по полным ортонормированным системам многочленов Лежандра и тригонометрических функций (базис Фурье) в $L_2([t,\hspace{0.2mm} T]^k),$ а также $\psi_1(\tau),\ldots,\psi_k(\tau)\in C^1[t,T]$ $(k=1,\ldots,5),$ $\psi_1(\tau),\ldots,\psi_6(\tau)\equiv 1$ $(k=6)$. Найдена среднеквадратическая скорость сходимости разложений повторных стохастических интегралов Стратоновича для указанного случая $(k=1,\ldots,5).$

$2.$ Случай кратных рядов Фурье по произвольным полным ортонормированным системам функций в $L_2([t,\hspace{0.2mm} T]^k)$ и $\psi_1(\tau), \ \psi_2(\tau)\in L_2[t,T]$ $(k=1,\ 2),\ $ $\psi_1(\tau), \ldots, \psi_k(\tau)$ $\in$ $C[t, T]\ $ $(k=3,\ 4,\ 5).$

$3.$ Случай кратных рядов Фурье по произвольным полным ортонормированным системам функций в $L_2([t,\hspace{0.2mm} T]^k)$ и $\psi_1(\tau), \ldots, \psi_k(\tau)$ $\in$ $C[t, T]\ $ $(k\in\mathbb{N})$ (https://arxiv.org/pdf/2003.14184v57, Разд. 2.31, Теорема 2.61).

Эти результаты могут быть интерпретированы как теоремы типа Вонга-Закаи о сходимости повторных интегралов Римана-Стилтьеса к повторным стохастическим интегралам Стратоновича. Сформулирована гипотеза о разложении повторных стохастических интегралов Стратоновича вида $(2)$ произвольной кратности $k\in \mathbb {N}$.

Сформулированы и доказаны две теоремы о разложении повторных стохастических интегралов Стратоновича вида $(2)$ произвольной кратности $k\in \mathbb {N},$ основанном на повторных рядах Фурье сходящихся поточечно.

Численное моделирование повторных стохастических интегралов Ито и Стратоновича вида $(1)$ и $(2)$ является одной из основных проблем на стадии численной реализации сильных численных методов высоких порядков точности для СДУ Ито и СДУ скачкообразно-диффузионного типа$.$

Метод Фурье для повторных стохастических интегралов Ито вида $(1)$ применен также к среднеквадратической аппроксимации повторных стохастических интегралов по бесконечномерному $Q\hspace{0.2mm}$-$\hspace{0.2mm}$винеровскому процессу$.$ В частности$,$ к среднеквадратической аппроксимации интегралов вида $$ \int\limits_{t}^{T} \Psi_k(Z) \left(\ldots \left(\hspace{0.2mm} \int\limits_{t}^{t_2} \Psi_1(Z) \psi_1(t_1) d{\bf W}_{t_1}({\bf x})\right) \ldots \right) \psi_k(t_k) d{\bf W}_{t_k}({\bf x}), $$ где $k\in \mathbb {N},$ ${\bf W}_{\tau}({\bf x})$ $-$ $U~$-$~$значный $Q~$-$~$винеровский процесс$,$ $Z:~ \Omega \rightarrow H$ $-$ ${\bf F}_t/{\cal B}(H)~$-$~$измеримое отображение$,$ $\Psi_k(v) (\hspace{1.6mm} \ldots \hspace{0.8mm}( \Psi_1(v) )\hspace{0.8mm} \ldots \hspace{1.6mm})$ $-$ $k~$-$~$линейный оператор Гильберта-Шмидта$,$ действующий из $\ \ U_0~\times~\ldots~\times~U_0\ \ $ в $\ H\ $ для всех $\ v\in H,\ $ $\psi_1(\tau),\ldots,\psi_k(\tau)\in L_2[t,T],\ $ $Q:~U \rightarrow U$ $-$ оператор с конечным следом$,$ $\hspace{0.2mm}$ $U,$ $H$ $-$ сепарабельные вещественные гильбертовы пространства$,\ $ $U_0=Q^{1/2}U.$

Среднеквадратическая аппроксимация повторных стохастических интегралов по бесконечномерному $Q$-винеровскому процессу является одной из наиболее сложных проблем на стадии численной реализации сильных аппроксимационных схем высоких порядков точности (относительно дискретизации по времени) для полулинейных некоммутативных СДУ с частными производными и нелинейным мультипликативным пространственно-временным шумовым возмущением (аппроксимационные схемы$,$ основанные на так называемом мягком решении)$.$

Впервые применены многочлены Лежандра для среднеквадратической аппроксимации повторных стохастических интегралов Ито и Стратоновича вида $(1)$ и $(2)$ кратностей $1 - 6.$ Показано$,$ что система многочленов Лежандра является оптимальной при решении данной проблемы при $k\ge 3.$

Сформулированы и доказаны теоремы о замене порядка интегрирования для повторных стохастических интегралов Ито и повторных стохастических интегралов по мартингалам$.$

Получены четыре так называемых унифицированных разложения Ито-Тейлора и Стратоновича-Тейлора$.$

Построены сильные численные методы достаточно высоких порядков точности $\gamma = 1.0,$ $1.5,$ $2.0,$ $2.5,$ $3.0, ... $ для СДУ Ито с многомерным и некоммутативным шумом$.$ Среди них явные и неявные$,$ одношаговые и многошаговые методы$,$ в том числе методы типа Рунге-Кутта$.$

В сферу научных интересов также входят различные типы стохастических интегралов и их свойства$,$ а также численное моделирование линейных и нелинейных стохастических динамических систем$.$

В 1993 году окончил кафедру "Механика и процессы управления" физико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного технического университета (Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого). Кандидат физико-математических наук (1996), доктор физико-математических наук (2003), c 1996 года работает на кафедре "Высшая математика" Санкт-Петербургского политехнического университета Петра Великого, с 2006 года в должности професcора, автор монографий по численному интегрированию стохастических дифференциальных уравнений Ито и сильной аппроксимации повторных стохастических интегралов Ито и Стратоновича.

1. Kuznetsov D. F., Kuznetsov M. D., “Mean-square approximation of iterated stochastic integrals from strong exponential Milstein and Wagner-Platen methods for non-commutative semilinear SPDEs based on multiple Fourier-Legendre series”, Recent Developments in Stochastic Methods and Applications, ICSM-5 2020, Springer Proceedings in Mathematics & Statistics, 371, eds. Shiryaev A.N., Samouylov K.E, Kozyrev D.V., Springer, Cham, 2021, 17–32        
2. Kuznetsov D. F., “Explicit one-step numerical method with the strong convergence order of 2.5 for Ito stochastic differential equations with a multi-dimensional nonadditive noise based on the Taylor–Stratonovich expansion”, "Computational Mathematics and Mathematical Physics", 60:3 (2020), 379–389                
3. Kuznetsov D. F., “A comparative analysis of efficiency of using the Legendre polynomials and trigonometric functions for the numerical solution of Ito stochastic differential equations”, "Computational Mathematics and Mathematical Physics", 59:8 (2019), 1236–1250                
4. Kuznetsov D. F., “Development and application of the Fourier method for the numerical solution of Ito stochastic differential equations”, "Computational Mathematics and Mathematical Physics", 58:7 (2018), 1058–1070                
5. Kuznetsov D. F., “Strong Approximation of Iterated Ito and Stratonovich Stochastic Integrals: Method of Generalized Multiple Fourier Series. Application to Numerical Solution of Ito SDEs and Semilinear SPDEs”, 2024, 1–1152, arXiv: 2003.14184        

• Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого