Программа курса:

1. Рациональные и вещественные числа. Рациональное число как класс эквивалентности пар целых чисел. Рациональное число как прямая на плоскости. Вещественное число как сечение на множестве рациональных чисел. Сравнение вещественных чисел. Операции над вещественными числами. Представление вещественного числа десятичной дробью. Теория цепных дробей - наилучших приближений вещественных чисел $p$-адические числа.
2. Предел последовательности. Сумма ряда. Предел суммы и произведения последовательности. Замечательные пределы. Фундаментальные последовательности. Критерий Коши. Предел монотонной ограниченной последовательности. Метрические пространства. Предел последовательности в метрическом пространстве. Полные метрические пространства.
3. Топология прямой. Открытые и замкнутые множества на прямой. Внутренность и замыкание множества. Замкнутость множества предельных точек. Компактные множества и их характеризация. Плотные множества. Связные множества.
4. Мощность множества. Счетные множества. Континуум. Мощность множества подмножеств.
5. Непрерывные функции на прямой. Эквивалентность определений непрерывной функции. Обратная функция. Теорема о достижении максимума и минимума. Теорема о промежуточном значении. Непрерывность элементарных функций.
6. Степенные ряды. Радиус сходимости ряда. Теорема Абеля. Формулы Коши и Даламбера.
7. Дифференцирование. Дифференцирование произведения. Производная композиции. Производная обратной функции. Формулы конечных приращений. Правило Лопиталя. Разложение Тейлора.

Организации
Независимый Московский университет