Пространства модулей – это множества классов изоморфности алгебраических кривых (фиксированного рода), снабженные различными структурами; изучение их когомологий составляет важную часть общей теории классификации алгебраических кривых. В курсе будет дан обзор современного состояния этой области математики, которая активно развивается, но в которой остается много нерешенных проблем. Так, полное вычисление когомологий всех пространств модулей относится пока к достаточно далекой перспективе. Основная цель курса – систематизировать известные на сегодняшний день частичные результаты: эйлеровы характеристики, теорию пересечений Виттена–Концевича, тавтологические части когомологий и прочее.

Имеется несколько вариантов теории; сами пространства модулей могут рассматриваться как алгебро-геометрические и как комплексно-аналитические объекты, причем в обоих случаях интересны и исходные пространства, и их компактификации, и некоторые накрытия тех и других. Для каждого варианта имеется несколько теорий когомологий; например, в последние годы получены (частично на эмпирическом уровне) сильные результаты для этальных когомологий, которые после доказательства Делинем гипотез Вейля сводятся к подсчету классов изоморфности кривых над конечными полями. Сопоставлению "одних и тех же" результатов, полученных разными методами, будет уделяться значительное внимание.

Предполагается, что слушатели владеют основными (в рамках стандартных университетских курсов) понятиями алгебры, анализа на многообразиях, элементарной топологии и комплексного анализа. Желательно владение основными понятиями алгебраической геометрии. Остальные используемые средства с разумной подробностью будут вводиться в курсе.

Курс является продолжением осеннего курса текущего учебного года, но может слушаться независимо. Необходимые понятия будут повторены.

Программа

Руководитель
Шабат Георгий Борисович

Организации
Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва