Lecture 1: We discuss various methods to obtain sharp existence and classification results for the positive solutions of nonlinear elliptic equations in $\mathbb R^N\setminus \{0\}$. Problems of this type have been studied extensively by many authors. For the prototype model $\Delta u=u^q$ in $\mathbb R^N\setminus \{0\}$ with $N\geq 3$, the pioneering paper of Brezis–Véron (1980/1981) shows that there are no positive solutions when $q\geq N/(N-2)$. When $1<q<N/(N-2)$, then the existence and profile near zero of all positive $C^1(\mathbb R^N\setminus\{0\})$-solutions are given by Friedman and Véron (1986). We provide the counterpart of these results for elliptic equations featuring a Hardy potential and weighted nonlinearities. Lecture 1 is based on joint work with M. Fărcăşeanu [J. Differential Equations 292 (2021), 461–500].

Lecture 2: We consider the positive solutions to the model problem $\Delta u=u^q |\nabla u|^m$ in $\Omega\setminus \{0\}$, where $\Omega$ is a domain in $\mathbb R^N$ $(N\geq 2)$ with $0\in \Omega$. We assume that $q\geq 0$, $m\in (0,2)$ and $m+q>1$. We present methods to obtain a complete classification of the behaviour near zero, as well as at $\infty$ when $\Omega=\mathbb R^N$, of the positive solutions of the above problem, together with corresponding existence results. This study is motivated by a rich literature on the topic of isolated singularities (e,g, Serrin (1965), Brezis–Oswald (1987), Vázquez–Véron (1980; 1985); Véron (1981; 1986; 1996), Nguyen Phuoc–Véron (2012) and Marcus–Nguyen (2015)). We emphasise the changes that arise from the introduction of the gradient factor in the nonlinear term and the new phenomena emerging when $m\in (0,1)$. Lecture 2 is based on joint work with J. Ching [Anal. PDE, 8 (8) (2015), 1931–1962].

We consider boundary value problems of the form $-(\Delta + V )u + f(u) = \tau$ in $D\subset \mathbb R^N$, $\mathrm{tr}_V u = \nu$ on $\partial D$ where $D$ is a bounded Lipschitz domain in $\mathbb R^N$ and $\mathrm{tr}_V u$ denotes the measure boundary trace associated with $V$. Regarding the non-linear term assume: $f$ is continuous, monotone increasing and $f(0) = 0$. We discuss questions of existence and uniqueness, first in the case $V = 0$ and then for potentials $V$ that blow up at the boundary not faster then $\mathrm{dist}(x; \partial D)^{-2}$.

In this talk, I will present a Schauder-type estimate for general local and non-local linear parabolic system $$\partial_tu+\mathcal{L}_su=\Lambda^\gamma f+g$$ in $(0,\infty)\times\mathbb{R}^d$ where $\Lambda=(-\Delta)^{\frac{1}{2}}$, $0<\gamma\leq s$, $\mathcal{L}_s$ is the Pesudo-differential operator of the order $s$. By applying our Schauder-type estimate to suitably chosen differential operators $\mathcal{L}_s$, we obtain critical well-posedness results of various local and non-local nonlinear evolution equations in geometry and fluids, including hypoviscous Navier–Stokes equations, the surface quasi- geostrophic equation, mean curvature equations, Willmore flow, surface diffusion flow, Peskin equations, thin-film equations and Muskat equations.

I will present some problems related to the occurrence/appearance of singularities in viscous Hamilton-Jacobi equations with coercive superlinear first order terms, in both stationary and time-dependent equations. The main focus will be on boundary blow-up solutions and barrier type phenomena, which have a substantial role in the formation of singularities of time-dependent classical solutions.

I will give lectures on recent advances in parabolic gluing methods and applications to Type II blowup for energy-critical Fujita equation.

The dynamical system approach has been well applied to study the traveling wave solutions of various nonlinear wave equations in recent two decades. In this talk, the main ideal and the key steps of this approach to investigate the traveling wave solutions of nonlinear wave equations will be introduced firstly. In addition to the exact solutions, the bifurcations of the traveling wave solutions and various smooth or non-smooth can be derived via this approach. The advantage and the challenging of this method is discussed as well. How this approach is extended to examine the traveling waves solutions, even the multi-wave solutions of higher-order nonlinear wave equations will be presented. Some recent development and works on the persistence of traveling wave solutions and the new solitary wave solutions to some classical nonlinear wave equations under singular perturbation via combining the singular perturbation method and bifurcation analysis are presented.

Lecture 1: We discuss various methods to obtain sharp existence and classification results for the positive solutions of nonlinear elliptic equations in $\mathbb R^N\setminus \{0\}$. Problems of this type have been studied extensively by many authors. For the prototype model $\Delta u=u^q$ in $\mathbb R^N\setminus \{0\}$ with $N\geq 3$, the pioneering paper of Brezis–Véron (1980/1981) shows that there are no positive solutions when $q\geq N/(N-2)$. When $1<q<N/(N-2)$, then the existence and profile near zero of all positive $C^1(\mathbb R^N\setminus\{0\})$-solutions are given by Friedman and Véron (1986). We provide the counterpart of these results for elliptic equations featuring a Hardy potential and weighted nonlinearities. Lecture 1 is based on joint work with M. Fărcăşeanu [J. Differential Equations 292 (2021), 461–500].

Lecture 2: We consider the positive solutions to the model problem $\Delta u=u^q |\nabla u|^m$ in $\Omega\setminus \{0\}$, where $\Omega$ is a domain in $\mathbb R^N$ $(N\geq 2)$ with $0\in \Omega$. We assume that $q\geq 0$, $m\in (0,2)$ and $m+q>1$. We present methods to obtain a complete classification of the behaviour near zero, as well as at $\infty$ when $\Omega=\mathbb R^N$, of the positive solutions of the above problem, together with corresponding existence results. This study is motivated by a rich literature on the topic of isolated singularities (e,g, Serrin (1965), Brezis–Oswald (1987), Vázquez–Véron (1980; 1985); Véron (1981; 1986; 1996), Nguyen Phuoc–Véron (2012) and Marcus–Nguyen (2015)). We emphasise the changes that arise from the introduction of the gradient factor in the nonlinear term and the new phenomena emerging when $m\in (0,1)$. Lecture 2 is based on joint work with J. Ching [Anal. PDE, 8 (8) (2015), 1931–1962].

We consider boundary value problems of the form $-(\Delta + V )u + f(u) = \tau$ in $D\subset \mathbb R^N$, $\mathrm{tr}_V u = \nu$ on $\partial D$ where $D$ is a bounded Lipschitz domain in $\mathbb R^N$ and $\mathrm{tr}_V u$ denotes the measure boundary trace associated with $V$. Regarding the non-linear term assume: $f$ is continuous, monotone increasing and $f(0) = 0$. We discuss questions of existence and uniqueness, first in the case $V = 0$ and then for potentials $V$ that blow up at the boundary not faster then $\mathrm{dist}(x; \partial D)^{-2}$.

In this talk, I will present a Schauder-type estimate for general local and non-local linear parabolic system $$\partial_tu+\mathcal{L}_su=\Lambda^\gamma f+g$$ in $(0,\infty)\times\mathbb{R}^d$ where $\Lambda=(-\Delta)^{\frac{1}{2}}$, $0<\gamma\leq s$, $\mathcal{L}_s$ is the Pesudo-differential operator of the order $s$. By applying our Schauder-type estimate to suitably chosen differential operators $\mathcal{L}_s$, we obtain critical well-posedness results of various local and non-local nonlinear evolution equations in geometry and fluids, including hypoviscous Navier–Stokes equations, the surface quasi- geostrophic equation, mean curvature equations, Willmore flow, surface diffusion flow, Peskin equations, thin-film equations and Muskat equations.

I will present some problems related to the occurrence/appearance of singularities in viscous Hamilton-Jacobi equations with coercive superlinear first order terms, in both stationary and time-dependent equations. The main focus will be on boundary blow-up solutions and barrier type phenomena, which have a substantial role in the formation of singularities of time-dependent classical solutions.

I will give lectures on recent advances in parabolic gluing methods and applications to Type II blowup for energy-critical Fujita equation.

The dynamical system approach has been well applied to study the traveling wave solutions of various nonlinear wave equations in recent two decades. In this talk, the main ideal and the key steps of this approach to investigate the traveling wave solutions of nonlinear wave equations will be introduced firstly. In addition to the exact solutions, the bifurcations of the traveling wave solutions and various smooth or non-smooth can be derived via this approach. The advantage and the challenging of this method is discussed as well. How this approach is extended to examine the traveling waves solutions, even the multi-wave solutions of higher-order nonlinear wave equations will be presented. Some recent development and works on the persistence of traveling wave solutions and the new solitary wave solutions to some classical nonlinear wave equations under singular perturbation via combining the singular perturbation method and bifurcation analysis are presented.

50 лет назад в Докладах Академии Наук СССР вышла работа Б.А. Дубровина и С.П. Новикова о связи периодической задачи для уравнения Кортевега - де Фриза (КдФ) с алгебраической геометрией пространства модулей гиперэллиптических кривых и их якобианов. Связь иного рода иерархии КдФ с пространством модулей всех кривых с отмеченными точками была высказана в качестве гипотезы Виттеном в 1991 и вскоре была доказана Концевичем. Это вызвало огромный интерес к приложению интегрируемых систем в теории различных пространств модулей, связанных с алгебраическими кривыми, который продолжается до сих пор.

Я расскажу об одном из таких приложений к вычислению объемов (Мазура-Вича) пространства модулей мероморфных квадратичных дифференциалов на кривых с отмеченными точками, следуя недавней совместной работе с Алексом Стоксом и Джоном Гиббонсом.

В докладе обсуждаются некоторые решенные и нерешенные вопросы, связанные с асимптотиками уиземовского типа для нелинейных уравнений с частными производными и основанные на конечнозонных решениях.

Написанная в 1974 году знаменитая работа С.П. Новикова про периодическую задачу для уравнения КдФ привела к открытию фундаментальных связей теории солитонов с алгебраической геометрией. В результате, несколько давно стоящих задач алгебраической геометрии были решены с помощью солитонных уравнений и, одновременно, в теории самих солитонных уравнений возник новый и очень эффективный подход - алгебро-геометрический метод или метод конечнозонного интегрирования. Знаменательно, что начиная с 90х годов, метод конечнозонного интегрирования начал завоевывать все новые и новые разделы математики, причем многие из них никогда ранее не воспринимались как принадлежащие к теории дифференциальных уравнений. В докладе мы рассмотрим некоторые из этих новых областей применения конечнозонного интегрирования. Основное внимание будет уделено задачам пришедшим из теории случайных матриц и статистической механики. В основном доклад следует совместным работам докладчика с Перси Дэйфтом, Жин Жоу и Игорем Красовским. Результаты , полученные другими авторами будут, конечно, также представлены и обсуждены.

Мы рассматриваем гамильтоновы структуры уравнений медленных модуляций (уравнений Уизема) для семейств многофазных решений интегрируемых иерархий. Построение структур такого типа задается методом усреднения гамильтоновых структур исходной системы, впервые введенном в работах Б.А. Дубровина и С.П. Новикова. Получаемые структуры имеют специальную форму и тесно связаны с параметрами поверхностей Римана, возникающих при определении семейства многофазных решений. Наличие таких структур, как хорошо известно, при этом тесно связано с задачей интегрирования уравнений медленных модуляций для интегрируемых систем.

Гиперэллиптические кривые являются существенным ингредиентом метода конечнозонного интегрирования. При условии вещественности всех циклов на таких кривых они называются кривыми Бутру. Помимо конечнозонных решений они возникают в методе наискорейшего спуска при интегрировании уравнений Пенлеве методом изомонодромных деформаций. Для многочленов, ортогональных относительно экспоненциального веса $e^{-nV(z)}$, оказывается, что кривые Бутру служат носителями нулей в пределе $ntoinfty $. При полиномиальных функциях $V(z)$ многочлены удовлетворяют рекуррентным соотношениям с коэффициентами, определяемыми по моментам экспоненциального веса.

В случае $V(z) =z^3$ коэффициенты вычисляются с помощью дискретного уравнения Пенлеве первого типа (dPI). Для него построены классы асимптотических решений для больших значений независимой переменной. Изучен частный случай переходной асимптотики, когда один из коэффициентов dPI столь же велик, что и независимая переменная. Найдена оценка момента перехода, когда решение стремится к бесконечности. Этот момент, в свою очередь, определяет предельные точки на кривой Бутру, к которым накапливаются нули многочленов. Также эта переходная асимптотика порождает особенности в моделях лапласовского роста и в распределениях собственных значений ансамблей нормальных матриц.