Курс посвящён теории открытых квантовых систем и может служить дополнением стандартных курсов квантовой механики, как правило, сконцентрированных на описании обратимой динамики изолированной системы. При этом предполагается, что слушатели знакомы только с линейной алгеброй и математическим анализом, а необходимые в курсе элементы квантовой механики будут в нём изложены. Теория открытых квантовых систем является теоретической основой современной спектроскопии, квантовой оптики, квантовой теории измерений, квантовой термодинамики и имеет широкие физические применения. Излагаемая теория также неотделима от квантовой теории информации. С математической точки зрения курс близок к теории Марковских процессов с конечным числом состояний, но рассматривает её некоммутативный аналог.

Программа курса

1. Матрица плотности. Чёткие квантовые измерения: селективные и неселективные; проекционный постулат фон Неймана–Людерса. Классические распределения как частный случай квантовых. Квантовая и классическая энтропия.
2. Унитарная квантовая динамика. Уравнение фон Неймана. Невозможность описать декогерентность и перенос в рамках унитарной динамики. 2-уровневая система. Уравнения Блоха в случае унитарной динамики.
3. Теория отрытых квантовых систем и необратимая квантовая динамика. Уравнение Горини–Коссаковского–Сударшана–Линдблада (ГКСЛ). Случай конечномерного гильбертова пространства (N-уровневой системы). Эквивалентность формы Линдблада и формы Коссаковского. Скалярное произведение в пространстве квадратных матриц, сопряжённое уравнение, представления Шрёдингера и Гейзенберга в неунитарном случае.
4. Вид уравнений ГКСЛ в пределе слабой связи в случае общего положения. Описание декогерентности и переноса. Классическая марковская динамика как частных случай квантовой. Уравнение Паули. Классическая относительная энтропия и её монотонность. Спектр уравнения ГКСЛ и однородное уширение линии.
5. Уравнения ГКСЛ для двухуровневой системы. Уравнения Блоха для открытой двухуровневой системы. Решение уравнений Блоха. Спектр резонансной флуоресценции.
6. Ортонормированные базисы в пространстве матриц. Эрмитовы бесследовые базисы матриц, ортогональные единичной матрице: обобщённые матрицы Гелл–Манна. Обобщённые вектора Блоха. Решение уравнений ГКСЛ. Запись уравнений ГКСЛ в конечномерном гильбертовом пространстве в форме вещественных обобщённых уравнений Блоха. Свойства спектра этих уравнений.
7. Вполне положительные отображения. Сохранение следа и унитальность. Аналогии с классическими стохастическими и бистохастическими матрицами. Соответствие Чоя–Ямилковского. Представление Крауса. Нечёткие квантовые наблюдаемые. Представление Стайнспринга, редуцированная матрица плотности системы и резервуара. Примеры вполне положительных отображений.
8. Дифференцируемость непрерывных матричных полугрупп. Дифференцирование вполне положительного отображения и вывод уравнения ГКСЛ в случае конечномерного гильбертова пространства.
9. Примеры уравнений ГКСЛ. Вид генераторов ГКСЛ, возникающих в пределе слабой связи, сингулярной связи и низкой плотности. Уравнения ГКСЛ, возникающие при описании непрерывных квантовых измерений.
10. Квантовая относительная энтропия и её свойства. Доказательство монотонности относительной энтропии при вполне положительных отображениях. Физический смысл относительной энтропии. Связь с квантовой термодинамикой.
11. Квантовые условия детального баланса. Вид генератора ГКСЛ, удовлетворяющий этим условиям. Физические примеры уравнений, удовлетворяющих и не удовлетворяющих условиям детального баланса.

Литература

1. Бройер Х.-П., Петруччионе Ф. Теория открытых квантовых систем. – М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», институт компьютерных исследований, 2010. – 824 с.
2. Холево А.С. Квантовые системы, каналы, информация. – М.:МЦНМО, 2010. – 328 с. https://www.mccme.ru/free-books/holevo-quantum.pdf
3. Холево А. С. Математические основы квантовой информатики, Лекц. курсы НОЦ, 30, МИАН, М., 2018, 3–117 http://www.mathnet.ru/links/e804a9c0afb758cc97296989649c8a58/lkn30.pdf
4. Холево А. С. Статистическая структура квантовой теории. — Москва, Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. — 192 с.
5. Accardi L., Lu Y.G., Volovich I.V. Quantum Theory and Its Stochastic Limit. — New York: Springer Verlag, 2002
6. Alicki R,. Lendi K. Quantum Dynamical Semigroups and Applications. Lect. Notes Phys. 717 – Springer, Berlin Heidelberg, 2007. – 129 р.
7. Bengstsson I., Zyczkoweski K. Geometry of quantum states. An Introduction to Quantum Entanglement – Cambridge University Press, Cambridge, 2006 https://pdfs.semanticscholar.org/3f28/893b7e8c5c96525493db8e3d6b09ab47f426.pdf
8. Davies E. B. Quantum Theory of Open Systems. Academic Press, London, 1976.
9. Wolf M. M., Quantum channels and operations – guided tour, Online Lecture Notes, 2012. https://www-m5.ma.tum.de/foswiki/pub/M5/Allgemeines/MichaelWolf/QChannelLecture.pdf
10. Rivas A., Huelga S. F. Open quantum systems. – Berlin: Springer, 2012.

Финансовая поддержка. Курс проводится при финансовой поддержке Минобрнауки России (грант на создание и развитие МЦМУ МИАН, соглашение № 075-15-2019-1614).

Программа

Руководитель семинара
Теретёнков Александр Евгеньевич

Организации
Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Математический центр мирового уровня «Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук» (МЦМУ МИАН)