Главной темой лекций является изложение основ теории твисторов и их приложений к решению уравнений калибровочной теории поля, таких как автодуальные уравнения Янга–Миллса.

Первая часть курса, посвященная теории твисторов, открывается построением твисторной модели пространства Минковского. Затем мы переходим к исследованию твисторного соответствия, сопоставляющего геометрическим объектам в пространстве Минковского их образы в пространстве твисторов. Отдельный интерес представляет клейнова интерпретация пространства Минковского, при которой это пространство отождествляется с квадрикой в 5-мерном комплексном проективном пространстве $CP^5$.

Во второй части курса теория твисторов применяется к исследованию уравнений калибровочной теории поля. В качестве первого примера мы рассматриваем уравнения дуальности Янга–Миллса на евклидовом пространстве $R^4$ и их решения, называемые инстантонами. Теорема Атьи–Уорда дает твисторную интерпретацию инстантонов, а основанная на ней ADHM-конструкция, предложенная Атьей, Дринфельдом, Хитчином и Маниным, позволяет полностью описать пространство модулей инстантонов. Следующим примером служат уравнения монополей в $R^3$, называемые иначе уравнениями Богомольного. Их твисторная интерпретация была предложена Намом.

Третья часть курса посвящена двумерным моделям. Она начинается с исследования уравнений Янга–Миллса–Хиггса в $R^2$. Пространство модулей решений автодуальных уравнений Янга–Миллса–Хиггса полностью описывается теоремой Таубса. Особый интерес представляют уравнения Хитчина на римановых поверхностях, тесно связанные с расслоениями Хиггса. В заключение мы обращаемся к сигма-моделям или, пользуясь математической терминологией, гармоническим отображениям. Для их описания также естественно использовать твисторный язык.

Все указанные уравнения дуальности имеют глубокий физический смысл, а их исследование представляет несомненный интерес как с точки зрения физики, так и математики.

Литература:

• А. Г. Сергеев, Геометрия твисторов и калибровочные поля, 2018 ; A. G. Sergeev, Twistor Geometry and Gauge Fields, 2018 .

Программа

Руководитель семинара
Сергеев Армен Глебович

Организации
Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва