Eine Verallgemeinerung des Satzes von Sperner über Anzahl der Untermengen einer endlichen Menge

Gegeben sei eine endliche Menge $R$ von $n$ Elementen und natürliche $r\ge1$. Ein zugehoriges System $\alpha=\{A_1,\dots,A_r\}$ von $r$ Untermengen der Menge $R$, wo $A_i A_j=\varnothing$, $\sum A_i=R$, heißt eine Verteilung $R$. Von zwei Verteilungen $\alpha=\{A_i,\dots,A_r\}$ und $\beta=\{B_1,\dots,B_r\}$ schreibt man $\alpha\sim\beta$, wenn es für keine $i$ $A_i\subset B_i$, oder $B_i\subset A_i$ gilt. $K=\{\alpha\}$ ist der $s$-System von voneinander verschiedener Verteilungen, wenn für jede $\alpha,\beta\in K,\alpha\nsim\beta $ ist. Es sei $N(K)$ die Anzahl der in $K$ vorkommenden Verteilungen. Der Hauptsatz ist
$$\mathop {\max}\limits_K N(K)=\mathop{\max}\limits_{n_1,\dots,n_r}\frac{{n!}}{{\left({n_1}\right)!\dots \left({n_r}\right)!}}.$$