Техника изолированных неприводимых полуинвариантов

Рассмотрим действие тора на аффинном многообразии. Неприводимым изолированным полуинвариантом называется неприводимый элемент алгебры регулярных функций, который является полуинвариантом относительно данного действия тора и вес которого отделяется линейной функцией от весов непропорциональных неприводимых полуинвариантов. В работе Боровик-Гайфуллин (2024) доказано, что существует лишь конечное число (возможно нулевое) классов ассоциированности изолированных неприводимых полуинвариантов. При эквивариантных изоморфизмах многообразий изолированные неприводимые полуинварианты переходят в неприводимые изолированные полуинварианты, что даёт инструмент для изучения эквивариантных автоморфизмов и изоморфизмов некоторых классов многообразий. В случае жёстких многообразий все автоморфизмы являются эквивариантными относительно максимального тора, если применить подходящий автоморфизм тора. В докладе будет рассказан результат той же работы Боровик-Гайфуллин (2024), где доказана гипотеза Зайденберга-Перепечко о том, что связная компонента группы автоморфимов жёсткого многообразия является алгебраическим тором, для случая многообразий с действием тора сложности 1.
Веса неприводимых изолированных полуинвариантов дают конечное подмножество в решётке характеров тора. Если два таких множества не переводятся друг в друга автоморфизмом решётки, то данные многообразия не изоморфны как многообразия с действием тора. В частности, это даёт способ доказать, что два действия тора на многообразии не сопряжены. В докладе будет показано, что произведение поверхности Данилевского на прямую допускает бесконечное число несопряжённых двумерных торов в группе автоморфизмов. Данный результат был получен в 1989 году Данилевским в его знаменитом препринте. Доказательство там другое, но не сложнее. Подход, основанный на рассмотрении весов изолированных неприводимых полуинвариантов хорош тем, что его можно применить к широкому классу аналогичных многообразий.