Коммутаторная длина алгебры Ли векторных полей на гладкой аффинной кривой

Следуя статье [1], мы докажем, что коммутаторная длина простой алгебры Ли векторных полей на гладкой неприводимой аффинной кривой $C$ с тривиальным касательным расслоением не превосходит трёх. Если, в дополнение к этому, $C$ является плоской кривой, то коммутаторная длина $\mathrm{Vec(C)}$ не больше двух. Если при этом $C$ имеет единственную точку на бесконечности, то коммутаторная длина $\mathrm{Vec(C)}$ равна двум. Затем мы покажем, что коммутаторная длина $\mathrm{Vec(C)}$ для рациональной гладкой аффинной кривой $C$ равна одному, что опровергает гипотезу [2, Conjecture 1], упомянутую в предыдущем докладе.
[1] Ievgen Makedonskyi, Andriy Regeta. Bracket width of the Lie algebra of vector fields on a smooth affine curve. arXiv:2210.14787 [2] Adrien Dubouloz, Boris Kunyavskii, Andriy Regeta. Bracket width of simple Lie algebras. Doc. Math. 26 (2021), 1601-1627