Операторы Кальдерона–Зигмунда на регулярном пространстве BMO

Для заданной положительной радоновской меры $\mu$ на пространстве $\mathbb{R}^m$ Ш. Толса [2] ввёл регулярное пространство $\mathrm{RBMO}(\mu)$. Такое обобщённое пространство можно использовать для мер $\mu$ без свойства удвоения, оно обладает настоящими свойствами классического пространства $\mathrm{BMO}$. В работе [2] доказано, что ограниченный на пространстве $L^2(\mu)$ оператор Кальдерона–Зигмунда действует из пространства $L^\infty(\mu)$ в $\mathrm{RBMO}(\mu)$. Этот результат мотивирует приведённую ниже основную теорему, дающую критерий для ограниченности операторов Кальдерона–Зигмунда на $\mathrm{RBMO}(\mu)$ в случае конечной меры $\mu$.
Кубом кратко называется замкнутый куб в пространстве $\mathbb{R}^m$, рёбра которого параллельны осям координат. Символ $\ell=\ell(Q)$ обозначает длину ребра куба $Q$. Обозначение $Q(x, \ell)$ используется для явного указания центра $x$ рассматриваемого куба. Для заданной конечной положительной меры $\mu$ на $\mathbb{R}^m$ и двух кубов $Q\subset R$ в пространстве $\mathbb{R}^m$ положим
$$ K(Q, R) = 1 + \sum_{j=1}^{N_{Q, R}} \frac{\mu(2^j Q)}{\ell^n(2^j Q)}, $$
где $N_{Q, R}$ — это минимальное число $s\in \mathbb{N}$ такое, что $\ell(2^s Q) \ge \ell(R)$. Далее, положим $K(Q)=K(Q,2^k Q)$, где $k$ — это минимальное натуральное число такое, что $2\mu(2^k Q)>\mu(\mathbb{R}^m)$.
Теорема (см. [1]). Пусть $\mu$ — конечная положительная мера размерности $n$ на пространстве $\mathbb{R}^m$, $0< n \le m$. Пусть $T$ — оператор Кальдерона–Зигмунда с ядром $\mathcal{K}$ таким, что
$$ \left|\int_{Q(x, R)\setminus Q(x, r)} \mathcal{K}(x, y)\, d\mu(y) \right| \le C, \quad x\in\mathbb{R}^m,\ 0<r<R. $$
Тогда оператор $T$ ограничен на пространстве $\mathrm{RBMO}(\mu)$ в том и только в том случае, когда выполнено следующее $T1$-условие: для каждого куба $Q\subset \mathbb{R}^m$, обладающего свойством удвоения, существует константа $b_Q$ такая, что
$$ \begin{aligned} &\frac{1}{\mu(Q)} \int_Q |T1 - b_Q|\, d\mu \le \frac{C}{K(Q)}\quad\textrm{для всех кубов}\ Q \textrm{со свойством удвоения}, \\ &|b_Q - b_R| \le C \frac{K(Q, R)}{K(Q)}\quad\textrm{для всех кубов}\ Q,R,\ Q\subset R, \textrm{со свойством удвоения}, \end{aligned} $$
где константа $C>0$ не зависит от кубов $Q$ и $R$.
Это совместная работа с А. В. Васиным. Исследование выполнено за счёт гранта Российского научного фонда № 18-11-00053, https://rscf.ru/project/18-11-00053/.
Список литературы
[1] Doubtsov E., Vasin A.V., “Calderón–Zygmund operators on RBMO.” arXiv:2106.00711, 2021.
[2] Tolsa X., "BMO, $H^1$, and Calderón–Zygmund operators for non doubling measures." Math. Ann., 319(1): 89–149, 2001.