Pairs of Lagrangian manifolds and semiclassical asymptotics of solutions of inhomogeneous stationary problems with localized right-hand sides

В $n$-мерном пространстве с координатами $x=(x_1,...,x_n)$ рассматриваются дифференциальные и псевдодифференциальные уравнения вида   $L'w=F$, где $L'=L(x,-ihgrad,h)$ — дифференциальный или псевдодифференциальный оператор  с гладким символом $L(x,p,h)$, заданный в $2n$-мерном фазовом пространстве с координатами $(x,p)=(x_1,...,x_n, p_1,...p_n)$, $h$-малый параметр. Предполагается, что функция $F$ задана в виде канонического оператора Маслова на некотором лагранжевом многообразии $M$, примененного к функции $A$ на $M$. Например, если $M$ — вертикальная плоскость $(x=0)$ в фазовом пространстве, то $F=f(x/h)$ — функция локализованная в окрестности точки $x=0$ (если $A=1$, то функция $F$ — дельта-функция Дирака). Если символ $L(x,p,h)$ не обращается в ноль на $M$, то задача является «эллиптической» и асимптотика решения выражается в виде стандартном для теории псевдодифференциальных операторов виде. Мы показываем, что если $L(x,p,h)$  обращается в ноль на некотором подмножестве $N$ из $M$, (в общем положении $N$- $(n-1)$-мерное изоторпное многообразие), то при некоторых дополнительных условиях на $L$ в асимптотике решения появляется «волновая» составляющая, связанная со вторым лагранжевым многообразием $\Lambda$, получаемым из $N$ с помощью сдвигов по траекториям гамильтоновой системы, заданной функцией Гамильтона $Н(x,p)=L(x,p,0)$. Пара лагранжевых многообразий $(\Lambda,M)$ определяет асимптотику решения исходной задачи в виде канонического оператора Маслова на $(\Lambda,M)$. В других задачах пары лагранжевых многообразий появились в работах Мельроуза и Ульмана, Стернина и Шаталова. В качестве примеров рассматриваются уравнения Гельмгольца и линейной теории волн на воде. В случае уравнения Гельмгольца полученные формулы обобщают результаты Келлера, Бабича и Кучеренко.   Доклад основан на работах, совместных с А.Аникиным, В.Назайкинским и М.Руло.