Nombres de Bernoulli et une formule de Schlömilch–Ramanujan

Nous discutons quelques formules qui utilisent les nombres de Bernoulli. Dans la première partie de cet article, on établit un lien étroit entre la formule d'Euler–Maclaurin et l'équation fonctionelle de Rota–Baxter. Dans la deuxiéme partie, on présente une simple démonstration d'une formule de Schlömilch–Ramanujan sur la sommation de certaines séries exponentielles, formant une famille à un paramètre naturel impair $l$. Un phénomène surprenant est observé : pour ces séries, l'approximation d'Euler–Maclaurin (de la somme par l'intégrale) est exacte si $l>1$.