La démonstration élementaire d'une proposition générale de la théorie analytique des nombres

Dans le présent travail je propose une méthode nouvelle pour la solution des questions relatives à la distribution des résidus ou non-résidus des puissances.
Le trait essentiel de le méthode nouvelle, comparativement aux méthodes développées pour le même but dans mes travaux 1917–18, c'est son caractére tout-à-fait élémentaire.
L'idée fondamentale consiste dans la comparaison de deux expressions obtenues par des voies différentes pour le même nombre des nombres de la forme $\alpha(ax+b)$ oú $\alpha$ prend des valeurs égales aux plus petits résidus positifs des nombres $\equiv Ax^n(\rm{mod.}p)$, et $x$ obtient indépendamment de $\alpha$ les valeurs: $0,1,\dots,h-1$ ($h<p$).
Je me suis borné ici à démontrer seulement la formule fondamentale, laquelle pour le premier nombre $p$ donne la valeur de nombre des nombres congrus à $Ax^n(\rm{mod.}p)$ et contenus dans la progression $ax+b$; $\alpha=0,1,\dots,h-1$, aux quantités d'ordre $O(\sqrt p\lg p)$ près. Tous les autres résultats, comme par exemple, la loi de distribution des racines primitives, la limite supérieure
$$ p^{\frac{1}{2k}}(\lg p)^2;\ k=l^{\frac{n-1}{n}} $$
pour le plus petit non-résidu positif de la $n$-me puissance suivant le module $p$, etc., peuven être déduits de la même manière, comme cela a été fait dans mes travaux précédents sur la même question.