Linniks Konstante ist kleiner als $5$

Seien $a$ und $q$ zwei teilerfremde, positive, ganze Zahlen. In 1944 bewies Y. Linnik, dass die kleinste Primzahl in einer arithmetischen Progression $mod$ $q$ kleiner als $C q^L$ ist mit positiven Konstanten $C$ und $L$.
Aufbauend auf einer Arbeit von Heath-Brown beweisen wir, dass $L=5$ zulässig ist.