Решения трехмерного уравнения синус-Гордон

Получены точные решения $U(x,y,z,t)$ трехмерного уравнения синус-Гордон в форме, которую ранее Лэм предложил для интегрирования двумерного уравнения синус-Гордон. Трехмерные решения зависят от произвольных функций $F(\alpha)$ и $\Phi(\alpha,\beta)$, аргументами которых являются функции $\alpha(x,y,z,t)$ и $\beta(x,y,z,t)$. Анзацы должны удовлетворять некоторым уравнениям. В случае одного анзаца – это система алгебраических уравнений. В случае двух анзацев к системе алгебраических уравнений добавляются обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Найденные решения $U(x,y,z,t)$ обладают важным свойством; а именно, для функции $\operatorname{tg}(U/4)$ выполняется принцип суперпозиции. Предложенный подход применим для решения обобщенного уравнения синус-Гордон, которое, в отличие от классического, дополнительно содержит частные производные первого порядка по переменным $x$, $y$, $z$, $t$, а также для интегрирования уравнения $\sh$-Гордон. Предложенный подход допускает естественное обобщение на случай интегрирования перечисленных типов уравнений в пространстве любого числа измерений.