Полиномиальные динамические системы и уравнение Кортевега–де Фриза

В явном виде строятся полиномиальные векторные поля $\mathcal L_k$, $k=0,1,2,3,4,6$, на комплексном линейном пространстве $\mathbb C^6$ с координатами $X=(x_2,x_3,x_4)$ и $Z=(z_4,z_5,z_6)$. Поля $\mathcal L_k$ линейно независимы вне их дискриминантного многообразия $\Delta\subset\mathbb C^6$ и касаются этого многообразия. Описаны полиномиальная алгебра Ли полей $\mathcal L_k$ и структура кольца полиномов $\mathbb C[X,Z]$ как градуированного модуля с двумя образующими $x_2$ и $z_4$ над этой алгеброй. Поля $\mathcal L_1$ и $\mathcal L_3$ коммутируют. Любой полином $P(X,Z)\in\mathbb C[X,Z]$ задает гиперэллиптическую функцию $P(X,Z)(u_1,u_3)$ рода $2$, где $u_1$ и $u_3$ – координаты траекторий полей $\mathcal L_1$ и $\mathcal L_3$. Функция $2x_2(u_1,u_3)$ является двухзонным решением иерархии Кортевега–де Фриза, и $\partial z_4(u_1,u_3)/\partial u_1=\partial x_2(u_1,u_3)/\partial u_3$.