Абсолютные идеалы почти вполне разложимых абелевых групп

Кольцом на абелевой группе $G$ называется кольцо, у которого аддитивная группа совпадает с $G$. Подгруппа группы $G$ называется абсолютным идеалом, если она является идеалом любого кольца на группе $G$. Если любой идеал кольца является абсолютным идеалом его аддитивной группы, то такое кольцо называется $AI$-кольцом. Если на группе имеется хотя бы одно $AI$-кольцо, то такая группа называется $RAI$-группой. В данной статье мы рассматриваем кольца на почти вполне разложимых абелевых группах (ПВР-группах).
Абелева группа без кручения называется ПВР-группой, если она содержит вполне разложимую подгруппу конечного ранга и конечного индекса. Всякая ПВР-группа $G$ содержит регулятор $A$, который является вполне разложимой и вполне характеристической подгруппой. Конечная факторгруппа $G/A$ называется регуляторным фактором группы $G$, порядок группы $G/A$ называется регуляторным индексом. Если регуляторный фактор ПВР-группы является циклическим, то группа называется ЦРФ-группой. Если типы прямых слагаемых ранга 1 регулятора $A$ попарно не сравнимы, то группы $A$ и $G$ называются жесткими. Если эти типы идемпотентны, то группа $G$ называется группой кольцевого типа.
Главный результат данной статьи заключается в том, что любая жесткая ЦРФ-группа кольцевого типа является $RAI$-группой. Кроме того, в работе полностью описаны главные абсолютные идеалы таких групп.
Пусть $G$ — жесткая ПВР-группа кольцевого типа с регулятором $A$, циклическим регуляторным фактором $G/A=\langle d+A\rangle$ и регуляторным индексом $n$. Разложение $A=\bigoplus\limits_{\tau\in T(G)}A_\tau$ регулятора $A$ в прямую сумму групп $A_\tau$ ранга 1 и типа $\tau$ определяет множество $T(G)=T(A)$ критических типов групп $G$ и $A$. Из теории ПВР-групп известно, что при подходящем выборе элементов $e_\tau\in A_\tau\, (\tau\in T(G))$ группу $A$ можно представить в виде $A=\bigoplus\limits_{\tau\in T(G)} R_\tau e_\tau$, где $R_\tau\, (\tau\in T(G))$ — подкольца с единицей поля рациональных чисел. При этом определены натуральные инварианты $m_\tau \, (\tau\in T(G))$ почти изоморфизма группы $G$ такие, что в делимой оболочке группы $G$ любой элемент $g\in G$ можно записать в виде $g=\sum\limits\limits_{\tau\in T(G)}\cfrac{r_\tau}{m_\tau} e_\tau$, где $r_\tau$ — элементы колец $R_\tau \, (\tau\in T(G))$, однозначно определенные при фиксированном разложении регулятора $A$.
Для описания $RAI$-групп в некотором классе абелевых групп необходимо знать строение главных абсолютных идеалов групп из этого кольца. Главным абсолютным идеалом, порожденным элементом $g\in G$, называют наименьший абсолютный идеал $\langle g\rangle_{AI}$, содержащий $g$.
Теорема 1. Пусть $G$ — жесткая ЦРФ-группа кольцевого типа с фиксированным разложением регулятора, $g=\sum\limits_{\tau\in T(G)}\cfrac{r_\tau}{m_\tau}e_\tau\in G$. Тогда
$$\langle g\rangle_{AI}=\langle g\rangle+\bigoplus\limits_{\tau\in T(G)}{r_\tau}A_\tau.$$

Заметим, что элементы $r_\tau\, (\tau\in T(G))$ в представлении элемента $g~\in~G$ определены однозначно с точностью до множителя, обратимого в $R_\tau$. Поэтому вид главного идеала $\langle g\rangle_{AI}$ не зависит от разложения регулятора.
Теорема 2. Любая жесткая ЦРФ-группа $G$ кольцевого типа является $RAI$-группой. При этом для любого $\alpha$, взаимно простого с $n$, существует $AI$-кольцо $(G,\times)$ такое, что в факторкольце $(G/A,\times)$ выполняется $\overline{d}\times \overline{d}=\alpha \overline{d}$, где $\overline{d}=d+A,G/A=\langle d\rangle$.
Библиография: 16 названий.