Ассоциативные кольца на векторных группах

Абелева группа называется полупростой, если она является аддитивной группой некоторого полупростого кольца. Проблема описания полупростых групп была сформулирована Р. А. Бьюмонтом и Д. А. Лоувером. Настоящая работа посвящена изучению полупростых векторных групп.
Векторной группой называется прямое произведение $\prod\limits\limits_{i\in I}R_i$ абелевых групп без кручения $R_i\, (i\in I)$ ранга 1. В статье описаны полупростые группы в классе редуцированных векторных групп $\prod\limits_{i\in I} R_i$ в случае не более, чем счетного множества $I$.
Умножением на абелевой группе $G$ называют гомоморфизм $\mu\colon G\otimes G\rightarrow$ $\rightarrow G$, это умножение обозначается также знаком $\times$, то есть $\mu(g_1\otimes g_2)=$ $=g_1\times g_2$ для $g_1, g_2\in G$. Группа $G$ с заданным на ней умножением $\times$ называется кольцом на группе $G$, которое обозначается $(G,\times)$. Показано, что любое умножение на прямом произведении групп ранга 1 определяется его ограничением на сумму этих групп. В частности, имеет место следующее утверждение.
Лемма 3. Пусть $I$ не более, чем счетное множество, $G=\prod\limits_{i\in I}R_i$ — векторная группа, $S=\bigoplus\limits_{i\in I} R_i$. Если в кольце $(G,\times)$ выполняется $S\times S=0$, то $(G,\times)$ — кольцо с нулевым умножением.
Пусть $\prod\limits_{i\in I}R_i$ — векторная группа, $t(R_i)$ — тип группы $R_i$. Обозначим через $I_0$ множество индексов $i\in I$, для которых $t(R_i)$ — идемпотентный тип с бесконечным числом нулей. Если $k\in I$, то $I_0(k)$ — множество индексов $i\in I_0$, для которых $t(R_i)\geq t(R_k)$.
Теорема 1. Пусть $I$ не более, чем счетное множество. Редуцированная векторная группа $\prod\limits_{i\in I} R_i$ является полупростой тогда и только тогда, когда
1) среди групп $R_i\, (i\in I)$ нет групп идемпотентного типа с конечным числом нулей,
2) для любой группы $R_k$ неидемпотентного типа множество $I_0(k)$ бесконечно.
Заметим, что набор типов групп $R_i\,(i\in I)$ в случае не более, чем счетного множества $I$ является инвариантом группы $G=\prod\limits\limits_{i\in I} R_i$, поэтому описание полупростых групп в теореме 7 не зависит от разложения группы $G$ в прямое произведение групп ранга 1.
Библиография: 17 названий.