Дискретные интегрируемые системы и геометрия. Семинар 1

Теория динамических систем изучает, явно или качественно, движение некоторой начальной точки в пространстве всех возможных состояний, в зависимости от времени $t$. Время может быть как непрерывным, и тогда система описывается дифференциальными уравнениями, так и дискретным, и в этом случае траекторией системы будет некоторая последовательность точек в пространстве состояний. Дискретные системы обычно задаются выбором некоторого отображения пространства состояний в себя, а потом итерированием, или последовательным применением, этого отображения. В частности, многие известные рекуррентные соотношения, такие как последовательность Фибоначчи, могут быть интерпретированы как дискретные динамические системы.
Большинство нелинейных динамических систем хаотичны, нас же будут интересовать так называемые интегрируемые системы. У таких систем есть скрытая алгебраическая структура, которая позволяет понять поведение системы и часто вывести явные формулы для решений. Мы посмотрим в деталях на один пример такой системы — так называемое отображение QRT. Это отображение задается простой и очень красивой геометрической конструкцией, и ее изучение быстро приводит нас к важным и интересным объектам и конструкциям из алгебраической геометрии и современной алгебры.
 

Примерная программа курса:

• Биквадратичные кривые на плоскости и инволюции на них.
• Пучок биквадратичных кривых. Отображение QRT как пример дискретной интегрируемой системы. Базисные точки и особенности отображений. Раздутия и разрешения особенностей.
• Рациональные эллиптические поверхности и инварианты отображения. Регулярные и сингулярные слои. Диаграммы Дынкина и классификация сингулярных слоев.
• Решетка Пикара и действие отображения QRT на ней. Классификации отображений QRT и построение отображения по заданному сингулярному слою. Примеры приложений.