$\wp$-функция Вейерштрасса, ряды Эйзенштейна и модулярные функции. Семинар 1

По определению, эллиптическая функция — это “хорошая” двоякопериодическая функция на комплексной плоскости. Одна из самых замечательных эллиптических функций, и одновременно самая простая из них — $\wp$-функция Вейерштрасса. Построив её, мы посмотрим на всё богатство связанных «в один ход» с нею сюжетов:

• ряды Эйзенштейна и тождества для них;
• двулистное разветвлённое накрытие сферы тором;
• алгебраическая реализация эллиптической кривой и сложение точек на ней;
• пример Латтэ рационального отображения с «абсолютно хаотическим» поведением

Наконец, естественно появляющиеся тут ряды Эйзенштейна — самые простые примеры модулярных форм, возникающих во многих и многих областях математики. Мы коснёмся двух связанных их проявлений — нахождения числа представлений натуральных чисел в виде суммы четырёх квадратов и теории решёток в многомерных пространствах.
Пререквизиты. Курс рассчитан как на студентов, так и на школьников, хорошо знакомых с комплексными числами. Я собираюсь сообщить все необходимые факты из комплексного анализа (и предложить в них поверить), но понимание самих комплексных чисел всё-таки для восприятия курса необходимо.