Представления $SL_2$, занятие 1

Отличие русской и американской школ теории представлений в том, что для русской основным примером является $SL_2$, а для американской — $E_8$ (фольклорная шутка).
В этом курсе мы познакомимся с представлениями группы $SL_2$ матриц размера 2 с определителем 1 и ее алгебры Ли $\mathfrak{sl}_2$, состоящей из матриц размера 2 со следом 0. Коэффициенты матриц и представлений будут в начале комплексными, а затем элементами поля $F_p$, алгебраического замыкания поля вычетов $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$.
Представления группы $SL_2$ и алгебры Ли $\mathfrak{sl}_2$ играют фундаментальную роль в теории представлений алгебраических групп, а также возникают в других областях математики. Случай комплексных коэффициентов классический, он был понят в начале прошлого века. Случай же поля $F_p$ значительно сложнее: для $SL_2$ и $\mathfrak{sl}_2$ все значимые вопросы имеют более или менее простые ответы, но для более сложных групп и алгебр Ли нет ответов даже на базовые вопросы, их изучение — одна из центральных и наиболее горячих тем в теории представлений последних лет.