Группы отражений и правильные многогранники, занятие 1

Еще древним грекам было известно, что в пространстве существует пять правильных многогранников: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. Задачу классификации правильных многогранников в пространстве произвольной размерности решил в середине XIX века швейцарский геометр Людвиг Шлефли. Он показал, что в пространстве размерности n>4 есть лишь три правильных многогранника: правильный симплекс, n-мерный куб и двойственный к нему многогранник — кокуб (аналог октаэдра). В четырехмерном пространстве, кроме того, есть правильный самодвойственный 24-гранник и двойственные друг другу 120-гранник и 600-гранник. Чтобы описать правильные многогранники, мы, следуя общему принципу, восходящему к Феликсу Клейну — «геометрия есть изучение симметрий объектов» — сначала изучим их группы симметрий. Оказывается, что все эти группы обладают замечательным свойством: они порождаются отражениями относительно некоторого множества гиперплоскостей («зеркал»). Поэтому вместо исходной задачи — описания групп симметрий правильных многогранников — мы попробуем решить более общую задачу, представляющую и самостоятельный интерес: классифицировать все конечные группы, порождённые отражениями (а не только те из них, которые являются группами симметрий правильных многогранников). Для этого мы научимся строить по каждой такой группе некоторый граф, называемый схемой Кокстера–Дынкина этой группы, и выпишем полный список таких графов. По загадочным причинам весьма похожие списки графов возникают во многих других важных алгебраических задачах. Помимо нашей основной цели — описания правильных многогранников в пространствах различных размерностей — из классификации групп, порождённых отражениями, можно будет получить ещё несколько интересных следствий. Например, мы выясним, как можно замостить сферу или плоскость одинаковыми треугольниками, почему порядок симметрии кристалла может равняться только 2, 3, 4 или 6.