Числа Каталана: комбинаторика и алгебраическая геометрия, занятие 1

Числа Каталана — важный комбинаторный объект со множеством разных интерпретаций и вариаций. В этих лекциях мы сконцентрируемся на рациональных числах Каталана и их $q$- и $(q,t)$- деформациях. Такие числа параметризуются парой $(a,b)$ взаимно-простых натуральных чисел, случай классических чисел Каталана соответствует $a=n$ и $b=n+1$. Замечательное наблюдение, принадлежащее Марку Хэйману, состоит в том, что классические числа Каталана и их деформации допускают алгебро-геометрическую интерпретацию в терминах геометрии схем Гильберта точек на плоскости. Эта схема Гильберта параметризует идеалы коразмерности $n$ в алгебре многочленов $\mathbb{C}[x,y]$ и очень важна в разных областях математики, включая теорию представлений и теорию узлов. Основная цель этого курса — это объяснить связь между схемой Гильберта и (деформированными) числами Каталана. Необходимые сведения из алгебраической геометрии будут объяснены по ходу дела.