Аддитивные действия и соответствие Хассетта–Чинкеля. Лекция

Реализуем аффинное пространство как открытую карту проективного пространства и рассмотрим действие на аффинном пространстве группы параллельных переносов. Можно ли продолжить это действие на проективное пространство? Оказывается, можно, причем как правило многими способами. В замечательной работе Брендана Хассетта и Юрия Чинкеля 1999 года показано, что такие продолжения в комплексном случае находятся в биективном соответствии с конечномерными локальными алгебрами. Установить соответствие Хассетта–Чинкеля можно элементарными средствами, но в процессе естественно возникают важные для современной математики объекты — экспонента линейного оператора, представление группы и циклический модуль, алгебра Ли и ее универсальная обертывающая.
В лекции мы обоснуем соответствие Хассетта–Чинкеля и обсудим задачу классификации конечномерных локальных алгебр. Такие алгебры сопоставимы по естественности определения с конечными группами или конечными полями, но известно про них значительно меньше. Если позволит время, поговорим и о недавних результатах о действиях с открытой орбитой группы параллельных переносов на других проективных многообразиях.