Арифметическая комбинаторика. Лекция 1

Арифметическая комбинаторика занимается изучением комбинаторного поведения подмножеств целых чисел и более сложных алгебраических структур относительно алгебраических операций. При этом неожиданно оказывается, что самые простые и естественно возникающие здесь вопросы тесно связаны с изначально весьма далёкими областями математики, такими, как, например, гармонический анализ, геометрия чисел или эргодическая теория.
Во время лекции я расскажу о некоторых центральных достижениях и нерешённых проблемах этой теории, по необходимости довольно бегло. Для последующих семинарских занятий я выбрал один конкретный результат, по праву считающимся одной из жемчужин всей теории: теорему Семереди об арифметических прогрессиях. Пусть $A$ — плотное подмножество $\{1,2,\ldots, N\}$ (скажем, $|A|\geqslant N/100$, $N\to\infty$). Тогда $A$ содержит сколь угодно длинную арифметическую прогрессию. Наш набросок доказательства этого замечательного результата будет весьма неспешным и сопровождаться многочисленными отступлениями по мере построения необходимой для этого теории.