Аннотация:
8 августа 1900 года Давид Гильберт сделал на Втором Математическом конгрессе доклад (см. [1, с. 13–64], представив слушателям ставший с тех пор знаменитым список проблем столетия. За прошедшие сто с лишним лет большая их часть была решена – и, что важнее, в ходе их решения появились новые сюжеты и новое понимание.
Я собираюсь затронуть несколько из них и обсудить, в каком контексте они формулировались и куда продвинулось наше понимание за эти сто лет. Этот курс предполагается обзорным и адресованным школьникам (в частности, он не предполагает предварительных сведений).
Программа-максимум
10-я проблема (и теорема Матиясевича): «как программировать многочлены»? Почему есть многочлен от нескольких переменных, у которого положительная часть множества его значений в точках с натуральными координатами это в точности множество всех простых чисел?
13-я проблема: самый знаменитый связанный с нею результат – это (совершенно парадоксальная по формулировке) теорема Колмогорова-Арнольда: оказывается, любая непрерывная функция от трех переменных (из $[0,1]^3$ в $[0,1]$) представляется в виде композиции непрерывных функций двух переменных. Более того, можно обойтись лишь функциями одной переменной, и функцией суммы! Но начиналось все с алгебраических функций. А почему вообще две и три переменные, и почему Гильберт явно оговаривает функцию, задающую решение уравнения $x^7 + ax^2 + bx + c = 0$?
алгебраическая часть 16-й проблемы: каким бывает множество $P(x, y) = 0$ для многочлена P степени n, как все эти примеры можно строить? Гипотеза Арнольда, теорема Гудкова, склейка Виро, и тропическая геометрия.
8-я проблема Гильберта: почти все, скорее всего, слышали о гипотезе Римана. А почему она интересна (и даже, через сто лет после Гильберта, попала в список из семи проблем тысячелетия)?
3-я проблема Гильберта: равносоставленность тел. На плоскости, как утверждает теорема Бойяи–Гервина, любые два многоугольника равной площади равносоставлены – можно разрезать один из них на части-многоугольники и передвинуть их так, что получится второй. А что будет в пространстве?
Обратная связь: