Аннотация:
Классическая логика высказываний исходит из предположения о том, что любые высказывания либо истинны, либо ложны. Логика доказуемости отражает более глубокую картину мира, осознанную после теорем Гёделя о неполноте: истинность высказывания, вообще говоря, не равносильна его доказуемости. Можно ли — и если да, то как — говорить на уровне логики о доказуемости или недоказуемости высказываний, наряду с их истинностью или ложностью? Решение было, по существу, предложено ещё Гёделем, а потом эта область активно развивалась начиная с 60-х годов XX века.
Язык логики доказуемости, наряду с обычными связками логики высказываний, содержит одноместные связки, обозначаемые ◻ и ◊. При этом ◻ A выражает доказуемость высказывания A, а ◊ A его непротиворечивость. Какие принципы логики доказуемости следует считать тавтологиями, то есть верными (подумайте: истинными или доказуемыми?) независимо от смысла элементарных высказываний, из которых они построены?
Слушателям рекомендуется подумать, следует ли считать тавтологиями следующие примеры:
□A&□B→□(A&B) □(A∨B)→□A∨□B □A→□□A ◊A→□◊A □A→A Как можно описать множество всех тавтологий логики доказуемости? Есть ли алгоритм, распознающий тавтологичность?
Для понимания рассказа будет полезно общее знакомство с теоремами Гёделя о неполноте и иметь представление о формальных системах, построенных на базе логики предикатов, таких как формальная арифметика Пеано. Разумеется, от слушателей не требуется помнить многочисленные технические детали.
Примерная программа
Логика высказываний и её модели. Модальная логика, модели Крипке. Логика Гёделя-Лёба GL. Теорема о полноте логики GL по Крипке на конечных деревьях.
Формальная арифметика Пеано. Гёделева нумерация. Теорема о неподвижной точке. Формулы доказуемости и непротиворечивости. Теоремы Гёделя, Россера и Лёба.