Гиперболические группы Громова. Занятие 1

Если у нас есть кривая на плоскости или сфере, то её всегда можно «стянуть», то есть продеформировать так, чтобы она стала точкой. Это не всегда возможно на других поверхностях, например, на торе или сфере с двумя ручками. Поэтому для заданной петли на поверхности было бы интересно узнать, стягиваема ли она или нет, а точнее, придумать алгоритм, отвечающий на этот вопрос. Такой алгоритм был найден Деном в начале 20 века. Он использует то, что сферу с $g$ ручками можно склеить из $4g$-угольника, и такими многоугольниками можно замостить гиперболическую плоскость (при $g>1$).
Во второй половине 20 века Громов обнаружил, что очень широкий класс групп, названных гиперболическими, можно изучать с помощью «взгляда издалека», который вдохновлен геометрией гиперболической плоскости. В частности, для таких групп работает обобщенный алгоритм Дена, распознающий тривиальные слова (аналоги стягиваемых петель).
Если смотреть на гиперболическую группу с очень большого расстояния, можно даже разглядеть ее границу, которая часто оказывается фракталом.
Для понимания курса желательно знать, что такое группа, заданная образующими и соотношениями. Знания гиперболической геометрии не предполагается.
Мы надеемся, что курс будет интересен и доступен как школьникам, так и студентам.