Ортогональные полиномы и непересекающиеся пути. Лекция

Непересекающиеся случайные пути возникают в самых разных комбинаторных задачах, например, в задаче о замощении шестиугольника ромбиками и в задаче о замощении ацтекского бриллианта доминошками.

При исследовании этих задач естественно возникают ортогональные полиномиальные ансамбли – распределения вероятностей, связанные с классическими семействами ортогональных полиномов дискретного переменного – например, ансамбль Хана в задаче о шестиугольнике и ансамбль Кравчука в задаче об ацтекском бриллианте.
В нашем курсе мы планируем подробно и элементарно разобрать несколько основных примеров. Впрочем, в ряде случаев развитие теории не пошло намного дальше разбора этих примеров. В этой области много замечательных открытых вопросов; некоторые мы сформулируем в курсе.
Для понимания курса вполне достаточно знакомства с самыми первыми понятиями линейной алгебры – скалярное произведение, матрица, детерминант матрицы. Знакомства с ортогональными полиномами не предполагается – мы подробно обсудим их на занятиях. Мы надеемся, тем самым, что наш курс доступен увлечённому школьнику.