Квазифейнмановские формулы для группы Шредингера: что это, как их получать, какая от них польза

Формула Фейнмана – это равенство следующего вида: слева стоит определяемая равенством функция, а справа – предел кратного интеграла при стремящейся к бесконечности кратности (и только он). Предложенный О. Г. Смоляновым подход, основанный на теореме Чернова, позволил в виде формул Фейнмана получить решения для некоторых важных эволюционных уравнений: теплопроводности, Шрёдингера и других, см. обзоры [1], [2]. В настоящем докладе предлагается расширить поле внимания с фейнмановских формул до квазифейнмановских.
Определение. Квазифейнмановская формула – это равенство следующего вида: слева стоит определяемая равенством функция, а справа – выражение, содержащее кратные интегралы сколь угодно большой кратности. В отличие от фейнмановских, квазифейнмановские формулы в правой части могут содержать суммирование или другие операции.
Естественность такого расширения диктуется недавно полученной теоремой 2, дающей представление решения задачи Коши для уравнения Шрёдингера не в виде фейнмановских, а в виде квазифейнмановских формул. Причем доказательство двух классов квазифейнмановских формул, даваемых новым методом, оказывается на два порядка проще, чем фейнмановских. Продвижение было достигнуто на основе структурирования условий теоремы Чернова следующим образом:
Теорема 1 [(П. Р. Чернов, 1968)]. Пусть $\mathcal{F}$ — банахово пространство и $L_b(\mathcal{F}, \mathcal{F})$ — пространство всех линейных ограниченных операторов в $\mathcal{F}$, наделенное обычной операторной нормой. Пусть дан линейный оператор $L\colon \mathcal{F}\supset Dom(L)\to \mathcal{F}$ и такая функция $G$, что:
{(E)} Существует сильно непрерывная полугруппа $(e^{tL})_{t\geq 0}$ с генератором $(L,Dom(L))$.
{(CT1)} Функция $G$ определена на $[0,+\infty)$, принимает значения в $L_b(\mathcal{F},\mathcal{F})$, и отображение $t\longmapsto G(t)f$ непрерывно на каждом векторе $f\in\mathcal{F}$.
{(CT2)} $G(0)=I$.
{(CT3)} Существует такое плотное в $\mathcal{F}$ подпространство $\mathcal{D}\subset \mathcal{F}$, что при всех $f\in \mathcal{D}$ существует $G'(0)f=\lim_{t\to 0}(G(t)f-f)/t$.
{(CT4)} Замыкание оператора $(G'(0),\mathcal{D})$ существует и равно $(L,Dom(L))$.
{(N)} Существует такое число $\omega\in\mathbb{R}$, что $\|G(t)\|\leq e^{\omega t}$ при всех $t\geq 0$.
Тогда для каждого $f\in \mathcal{F}$ справедливо $(G(t/n))^nf\to e^{tL}f$ при $n\to \infty$, где предел равномерен по $t\in [0,t_0]$ при каждом фиксированном $t_0>0$.
Замечание. Если функция $G$ (или, как иногда коворят, семейство $(G(t))_{t\geq 0}$) удовлетворяет условиям (CT1)–(CT4), то ее предлагается называть касающейся по Чернову (Chernoff-tangent) оператора $L$. Если же функция удовлетворяет всем условиям теоремы Чернова, то она называется (или оказывается, в зависимости от определения эквивалентности по Чернову, ср. [2] и [4]) эквивалентной по Чернову полугруппе $(e^{tL})_{t\geq 0}$, что означает сходимость $(G(t/n))^nf\to e^{tL}f$. В случае, когда при каждом $t$ оператор $G(t)$ интегральный, равенство $e^{tL}f = \lim_{n\to\infty}(G(t/n))^nf$ и есть формула Фейнмана.
Основной анонсируемый в докладе результат кратко выражается так: если семейство $(S(t))_{t\geq 0}$ состоит из самосопряженных операторов и находится в черновском касании с самосопряженным оператором $H$, то семейство $R(t)=e^{i(S(t)-I)}$ эквивалентно по Чернову полугруппе Шрёдингера $(e^{itH})_{t\geq 0}$. В несколько большей общности это выглядит так.
Теорема 2 [(И. Д. Ремизов, 2014)]. Пусть даны линейный самосопряженный оператор $H\colon \mathcal{F}\supset Dom(H)\to \mathcal{F}$ в гильбертовом пространстве $\mathcal{F}$ и ненулевое число $a\in\mathbb{R}$. Пусть функция $S$ черновски касается оператора $H$ и $(S(t))^*=S(t)$ для каждого $t\geq 0$. Положим $R(t)=e^{ia(S(|t|)-I)\mathrm{sign}(t)},$ определяя экспоненту суммой ряда (это возможно, поскольку при каждом $t\in\mathbb{R}$ в показателе экспоненты стоят линейные ограниченные операторы в $\mathcal{F}$).
Тогда функция $R$ эквивалентна по Чернову группе $(e^{iatH})_{t\in\mathbb{R}}$ и для каждых $t\in\mathbb{R}$ и $f\in\mathcal{F}$ по норме в $\mathcal{F}$
\begin{equation}\label{FFeyn11} e^{iatH}f=\left(\lim_{n\to\infty}\left(e^{ia(S(|t/n|)-I)\mathrm{sign}(t)}\right)^n\right)f,\ e^{iatH}f=\left(\lim_{n\to\infty}e^{ian(S(|t/n|)-I)\mathrm{sign}(t)}\right)f,\end{equation}

\begin{equation}\label{FFeyn31} e^{iatH}f=\left(\lim_{n\to\infty}\lim_{k\to\infty}\sum_{m=0}^k\frac{i^ma^mn^m(\mathrm{sign}(t))^m}{m!}(S(|t/n|)-I)^m\right)f,\end{equation}

\begin{equation}\label{FFeyn31-newt} e^{iatH}f=\left(\lim_{n\to\infty}\lim_{k\to\infty}\sum_{m=0}^k\sum_{q=0}^m\frac{(-1)^{m-q}i^ma^mn^m(\mathrm{sign}(t))^m}{q!(m-q)!} (S(|t/n|))^q \right)f,\end{equation}

\begin{equation}\label{FFeyn41} e^{iatH}f=\left(\lim_{n\to\infty}\lim_{k\to\infty}\left[\left(1-\frac{ian\, \mathrm{sign}(t)}{k}\right)I + \frac{ian\, \mathrm{sign}(t)}{k} S(|t/n|)\right]^k\right)f,\end{equation}

\begin{equation}\label{FFeyn41-newt} e^{iatH}f=\left(\lim_{n\to\infty}\lim_{k\to\infty} \sum_{q=0}^k \frac{k!(k-ian\, \mathrm{sign}(t))^{k-q}(ian\, \mathrm{sign}(t))^q}{q!(k-q)!k^k} (S(|t/n|))^q\right) f, \end{equation}

\begin{equation}\label{FFeyn41-newtfull} e^{iatH}f=\left(\lim_{n\to\infty}\lim_{k\to\infty} \sum_{m=0}^k \sum_{q=0}^{k-m} \frac{(-1)^{k-m-q}k!\, (ian\, \mathrm{sign}(t))^{k-q}}{m!q!(k-m-q)!k^{k-q}} (S(|t/n|))^m\right) f. \end{equation}

Символ $|x|$ выше означает модуль действительного числа $x$.
Замечание. Если оператор $S(t)$ интегральный, то $(S(|t/n|))^mf$ — это $m$-кратный интеграл от функции $f$, а представленные выше равенства — это квазифейнмановские формулы. Здесь кратко отметим только три полезных свойства теоремы 2. Во-первых, она позволяет свести решение задачи Коши для уравнения Шрёдингера к построению семейства, касающегося оператора из уравнения теплопроводности (это проще, чем в случае оператора Шрёдингера). Во-вторых, более не требуется контролировать рост нормы аппроксимирующего семейства. В-третьих, метод работает на уровне полугрупп, а, значит, применим к уравнениям с любым пространством координат. Доказательство теоремы 2, замечания к ней и формулировки связанных с ней открытых вопросов см. в статье [3].
Настоящее исследование профинансировано грантом РФФИ 14-41-00044 в ННГУ им. Н.И. Лобачевского.