Оценка среднего числа общих нулей собственных функций оператора Лапласа

Мы рассматриваем системы $n$ собственных функций оператора Лапласа $\Delta $ с собственным значением $\lambda$ на компактном римановом многообразии $M$ без края. Если $M$ однородно относительно компактной группы Ли, сохраняющей метрику, то мы доказываем, что среднее число общих нулей $n$ собственных функций не превосходит $ c(n)\lambda ^{n/2}{\rm vol}\,M$. Таким образом, наша оценка с точностью до зависящего от $n$ множителя совпадает с основным членом асимптотической формулы Вейля для порядкового номера собственного значения $\lambda$. Более того, если представление изотропии неприводимо, то оценка превращается в равенство. Константа $c(n)$ вычислена явно. Доказательство основано на применении формулы Крофтона для сферы.