Аналог принципа Сен-Венана и единственность решений краевых задач в неограниченных областях для параболических уравнений

Работа А. Н. Тихонова “Теорема единственности для уравнения теплопроводности”, опубликованная в 1935 г. [1], оказала большое влияние на развитие теории уравнений с частными производными. В этой работе была доказана теорема единственности решения задачи Коши для уравнения теплопроводности в некоторых классах экспоненциально растущих функций и построены примеры решений, указывающие на неединственность в более широких классах функций. Изучению проблем, возникающих в связи с этой работой А. Н. Тихонова, а также дальнейшему обобщению и развитию ее результатов посвящены многочисленные исследования (см., например, [2]–[10] и другие), составляющие большой раздел теории уравнений с частными производными.
Здесь мы изучим вопрос о единственности решения задачи Коши, краевых задач и задачи без начальных условий, а также асимптотические свойства решений для параболических уравнений второго порядка, используя метод, основанный на выводе априорных оценок решений, аналогичных принципу Сен-Венана в теории упругости [11]. Другой новый подход, позволяющий исследовать эти вопросы для общих параболических систем с общими граничными условиями и получить аналоги теорем А. Н. Тихонова, представлен в работах [8]–[10]. Он основан на использовании аналитичности, решений некоторых вспомогательных параболических систем по дополнительному независимому переменному.