Дифференциальное уравнение для трансценденты Лерха и связанные с ним симметрические операторы в гильбертовом пространстве

Функция $\Psi(x, y, s)=e^{iy}\Phi(-e^{iy},s,x)$, где $\Phi(z,s,v)$ – трансцендента Лерха, удовлетворяет двумерному формально самосопряженному гиперболическому дифференциальному уравнению второго порядка
$$ L[\Psi]=\frac{\partial^2\Psi}{\partial x\,\partial y}+i(x-1)\frac{\partial\Psi}{\partial x}+\frac{i}{2}\Psi=\lambda \Psi, $$
где $s=1/2+i\lambda$. Соответствующее дифференциальное выражение порождает плотно определенный симметрический оператор (минимальный оператор) в гильбертовом пространстве $L_2(\Pi)$, где $\Pi=(0,1)\times(0,2\pi)$. В работе получено описание областей определений некоторых симметрических расширений соответствующего минимального оператора. Показано, что формальные решения задачи на собственные значения для построенных симметрических расширений допускают представления в виде функциональных рядов, близких по структуре к ряду Фурье функции $\Psi(x,y,s)$. Обсуждаются достаточные условия, при выполнении которых найденные формальные решения являются собственными функциями рассматриваемых симметрических дифференциальных операторов. Показано, что существует тесная взаимосвязь между спектральными свойствами введенных в работе симметрических дифференциальных операторов и теорией распределения нулей некоторых специальных аналитических функций, аналогичных дзета-функции Римана.
Библиография: 15 названий.